Сначала входной кран, потом счетчик и за ним выходной кран.

Такие решения принимает организация, которая обслуживает систему водоснабжения, в вашем случае это водоканал. Добро на установку промывного фильтра они не дают, и увы, имеют на это право.
В паспорте к счетчику есть схема установки: кран, косой фильтр, счетчик. Никаких промывных фильтров не предусмотрено.
Пробовать можно договориться на тот вариант, что вы установите свой фильтр, а они его опломбируют. Но решит ли это проблему, ведь для промывки фильтра придется каждый раз срывать пломбу.

Все потребители воды должны подключаться после счетчиков. Должна быть исключена возможность незаконного разбора воды до счетчика. Куда сейчас подключен шланг от сливного бочка?

Была схожая ситуация при установке системы защиты от протечек. Сантехник сказал, что нельзя устанавливать электрокраны до счетчика, якобы откажутся пломбировать. Я же поинтересовался, как поможет в этом случае система защиты, если потечет прокладка на счетчике? В результате позвонил в управляющую компанию и прояснил ситуацию. Мне сказали, что для предотвращения незаконного разбора воды, они в состоянии запломбировать все, что находится выше счетчика. Итак, в моем случае перед счетчиком два крана — полипропиленовый и металлический с электрическим приводом. Вывод: запломбировать можно все что угодно, было бы желание.